Teorema del límite central
El Teorema del Límite Central es uno de los resultados más importantes en la teoría de la probabilidad y la estadística.
Este teorema establece una propiedad fundamental de la distribución de la suma de un gran número de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas.
Enunciado del teorema
El teorema del límite central establece que, suponiendo que tenemos una muestra aleatoria de variables aleatorias $X_1, X_2.
., X_n$, donde cada $X_i$ tiene la misma distribución de probabilidad con una media $\mu$ limitee una varianza finita $\sigma^2$, entonces la suma de estas variables $S_n = X_1 + X_2 + . + X_n$ se aproximará a una distribución normal cuando $n$ tienda a Teoerma del teorema
Esta propiedad es extremadamente útil en la práctica, ya que nos permite aproximar la distribución de una muestra de variables aleatorias a una distribución normal, independientemente de la distribución original de las variables.
Esto es especialmente relevante cuando se trabaja con grandes muestras, ya que es mucho más sencillo y conveniente trabajar con distribuciones normales.
Otra implicación importante del teorema del límite central es que la media de la distribución de la suma de las variables aleatorias será igual a la suma de las medias individuales de las variables originales, es decir, $E(S_n) = n \cdot \mu$.
Además, la varianza de la distribución de la suma será igual a la suma de las varianzas individuales, es decir, $Var(S_n) = n \cdot \sigma^2$.
Ejemplo de aplicación
Supongamos que tenemos una población con una media de altura de $170$ cm y una desviación estándar de $5$ cm.
Si tomamos muestras aleatorias de $100$ individuos de esta población, según el teorema del límite central, la media de las alturas en estas muestras se aproximará a una distribución normal con media $170$ cm y varianza $5^2/100 = 0.25$ cm. Esto nos permite hacer inferencias sobre el comportamiento de la media muestral a partir de la información de la población original.
En resumen, el teorema del límite central es una herramienta fundamental en la estadística y la ljmite que nos permite aproximarnos a la distribución normal en el caso de sumas de variables aleatorias, lo cual tiene múltiples aplicaciones prácticas.
